On peut prier dans une mosquée, oui et non.

Quand on visite une mosquée, pas en qualité de représentant de la vraie religion (c'est impossible, voir infra), mais comme personne privée par simple curiosité ou intérêt culturel ou historique, on s'adaptera aux coutumes et exigences vestimentaires, et on peut y dire une prière, mais quand on est chrétien, seulement une prière chrétienne, et de préférence silencieuse et discrète.
On n'y chantera pas le Salve Regina. On se gardera toujours d'adopter une posture équivoque qui pourrait être comprise comme prière musulmane (se mettre en direction du mihrab pour adopter la qibla p.ex.) et a fortiori l'on ne pourra jamais s'associer à la prière des musulmans qui s'y trouvent (ce serait apostasie et communicatio in sacris), ni prier avec eux une prière neutre qui serait acceptable pour tout le monde (ce serait indifférentisme et communicatio in sacris).

J'ai régulièrement murmuré un "De Profundis" dans les moquées et synagogues et dans les cimetières musulmans ou juifs que j'ai visités. Mais je n'ai jamais rencontré un musulman (ou un juif) qui m'ait demandé de s'associer à lui dans sa prière, au contraire, on est invité, de façon fort courtoise en générale, de quitter les lieux, ou de monter à la galerie, quand une prière va commencer.
(Je parle du Moyen Orient où sauf quelques cas particuliers, les mosquées peuvent être visitées par tout le monde, à la différence de l'Afrique du Nord)

Mais on ne peut pas visiter une mosquée quand on représente le christianisme ou l'Eglise, donc quand on est prêtre ou évêque et l’on fait sa visite ès qualité. Ce n'est pas possible (sauf peut-être dans le cas d'une visite incognito selon le scénario d'en-haut).
A fortiori est-il impossible d'y prier de façon publique dans ces cas là, puisque le représentant de la vraie religion (aussi pour les musulmans investi d’une vraie autorité) donnera l'impression aux musulmans que leur maison de prière est quelque chose d'intrinsèquement bon et légitime, auquel cette visite donnerait l'aval en quelque sorte et une certaine reconnaissance. Ce serait les confirmer dans leur erreur et la mécréance. S'il est vrai que la prudence peut inciter au silence, dans certaines circonstances, il n'est jamais permis de poser des actes positifs qui confirmeraient l'erreur. Une telle visite serait un acte positif et confirmateur incontestable.

Donc: on ne peut pas s'incliner devant ou embrasser le Qoran (signe de vénération d'un saint livre, et aussi de soumission, le Qoran n'est pas un livre saint), on ne peut pas prier avec un musulman, nulle part, mais surtout pas dans une mosquée, et, quand on visite des musulmans en tant que représentant officiel de la vraie religion, on ne pourra jamais ne pas prononcer le nom du Christ et inviter à la conversion. Si ce n'est pas possible ou souhaitable, parce que la prudence s'y oppose, il faut d'emblée s'abstenir de faire la visite ou la faire incognito.

Soutenir le Forum Catholique dans son entretien, c'est possible. Soit à l'aide d'un virement mensuel soit par le biais d'un soutien ponctuel. Rendez-vous sur la page dédiée en cliquant ici. D'avance, merci !