Bonjour,

Je suis d'humeur serviable aujourd'hui alors je vais vous expliquer l'erreur de l'abbé, ou de l'auteur de la pseudo-démonstration en question, lisible <A href="http://josephmarie.perso.neuf.fr/fermat.pdf">ici : il s'agit en fait de l'introduction d'une hypothèse cachée, apparemment à l'insu de l'auteur lui-même (sinon il s'agirait d'une tromperie, mais en dehors même de la « pia interpretatio » je trouve cela moins probable)... Mes très plates excuses à XA pour ce message qui risque de faire figure d'ovni.

Rappelons qu'on veut prouver l'impossibilité de l'égalité dite « de Fermat » :
a^n = b^n + c^n,
avec a > b > c entiers naturels et n > 2
(si n = 2 il s'agit de l'égalité de Pythagore, dont on a de nombreux exemples, dont a = 5, b = 4, c = 3).
Je note à l'aide de « ^ » l'opération d'exponentiation.

L'équation (1) dont vous parlez, page 5 du document en question, qui est une conséquence de l'égalité de Fermat (il suffit de diviser les deux membres par a^t), s'écrit
a^2 = b^2.(b/a)^t + c^2.(c/a)^t (où t = n-2).

Ensuite, de fait, vu l'hypothèse (a > b > c), si on a t > 0 (id est n > 2), on a aussi

b^2.(b/a)^t < b^2 et c^2.(c/a)^t < c^2,
qui sont les deux premières inégalités de la dernière ligne de la page 5.

Mais ce qui s'ensuit de l'équation (1) et de ces deux inégalités est (par exemple) que
a^2 = b^2.(b/a)^t + c^2.(c/a)^t < b^2 + c^2,

et pas du tout que
a^2 > b^2.(b/a)^t + c^2.(c/a)^t (dernière inégalité de la dernière ligne de la page 5, que j'appellerai inéq. 1).

Mon hypothèse est que, pour arriver à cela, l'auteur du texte a dû croire que ce qu'il était en train de supposer était a^2 = b^2 + c^2 (que j'appellerai éq. 2), c'est-à-dire l'égalité de Pythagore, étant donné qu'il affirme assez bizarrement plus haut que « nous pouvons donc ramener l’énoncé de fermat [sic] à l’expression de Pythagore » et ce, sous prétexte que, en posant x = (b/a )^t et y = (c/a)^t, il peut effectivement écrire l'équation (1) sous la forme
a^2 = x.b^2 + y.c^2.

Mais si cela ressemble à Pythagore, ce n'est point Pythagore !

L'auteur du texte a donc vraisemblablement cru qu'il pouvait utiliser l'éq. 2, et en déduire alors qu'on avait l'inégalité (inéq. 1), effectivement incompatible avec l'équation (1), énoncé du théorème de Fermat. Mais tout ce que l'auteur a fait est de montrer que a, b et c ne pouvaient pas être liés à la fois par l'égalité de Pythagore et par l'égalité de Fermat pour un autre n > 2. Ce qui n'est pas vraiment un exploit...
J'ai vraiment l'impression que l'auteur s'est abusé lui-même en écrivant ! - par ailleurs une série de modifications de notations suffit rarement à faire une démonstration mathématique...

Pour résumer sans notations mathématiques, le seul raisonnement que fait l'auteur (après ses conditions nécessaires des pages précédentes, qui paraissent justes) donne lieu à une inégalité qui montre que, si trois entiers sont liés par une égalité de Fermat avec un exposant strictement supérieur à 2, les mêmes entiers ne peuvent pas être liés par une égalité de Pythagore. Mais il s'est égaré dans ces raisonnements, faisant sans le dire l'hypothèse que les trois entiers étaient liés par l'égalité de Pythagore. Et ainsi il peut paraître déduire que l'égalité de Fermat (avec un exposant strictement supérieur à 2) est impossible dans tous les cas !

Bravo à ceux qui m'ont lu jusqu'au bout.
NéoAthanase

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