En fait, ils peuvent demander, et le curé peut donner son accord.
Mais le Curé n'est pas tenu de le faire.

Chapitre V
LA FORME DE LA CÉLÉBRATION DU MARIAGE

Can. 1108 – § 1. Seuls sont valides les mariages contractés devant l’Ordinaire du lieu ou bien devant le curé, ou devant un prêtre ou un diacre délégué par l’un d’entre eux, qui assiste au mariage, ainsi que devant deux témoins, mais toutefois selon les règles exprimées dans les canons suivants et restant sauves les exceptions dont il s’agit aux can. 144, 1112, § 1, 1116 et 1127, §§ 2 et 3.
§ 2. Par assistant au mariage, on entend seulement la personne qui, étant présente, demande la manifestation du consentement des contractants, et la reçoit au nom de l’Église.
Can. 1109 – L’Ordinaire du lieu et le curé, à moins qu’ils n’aient été, par sentence ou par décret, excommuniés ou interdits ou suspens de leur office ou déclarés tels, assistent validement, en vertu de leur office, dans les limites de leur territoire, aux mariages non seulement de leurs sujets, mais aussi de ceux qui ne le sont pas, pourvu que l’un ou l’autre soit de rite latin.
Can. 1110 – L’Ordinaire et le curé personnels assistent validement, en vertu de leur office, uniquement aux mariages de ceux dont au moins l’un des contractants est leur sujet dans les limites de leur ressort.
[il y a donc une préférence du droit pour ce genre de célébration]
Can. 1111 – § 1. L’Ordinaire du lieu et le curé, aussi longtemps qu’ils remplissent validement leur office, peuvent déléguer aux prêtres et aux diacres la faculté, même générale, d’assister aux mariages dans les limites de leur territoire.
§ 2. Pour que la délégation de la faculté d’assister aux mariages soit valide, elle doit être donnée expressément à des personnes déterminées ; s’il s’agit d’une délégation spéciale, elle doit être donnée pour un mariage déterminé ; s’il s’agit au contraire d’une délégation générale, elle doit être donnée par écrit.
Can. 1112 – § 1. Là où il n’y a ni prêtre ni diacre, l’Évêque diocésain, sur avis favorable de la conférence des Évêques et avec l’autorisation du Saint-Siège, peut déléguer des laïcs pour assister aux mariages.
§ 2. Il faudra choisir un laïc idoine, capable de donner une formation aux futurs époux et apte à accomplir convenablement la liturgie du mariage.
Can. 1113 – Avant qu’une délégation spéciale ne soit concédée, toutes les dispositions prévues par le droit pour prouver l’état libre des parties seront prises.
Can. 1114 – L’assistant au mariage agit illicitement s’il n’a pas la certitude de l’état libre des contractants selon le droit et, si possible, de l’autorisation du curé quand il assiste en vertu d’une délégation générale.
Can. 1115 – Les mariages seront célébrés dans la paroisse où l’un ou l’autre des contractants a domicile ou quasi-domicile ou résidence d’un mois, ou bien, s’il s’agit de vagi, dans la paroisse où ils résident de fait ; avec l’autorisation de l’Ordinaire propre ou du curé propre, ils peuvent être célébrés ailleurs.
Can. 1116 – § 1. S’il n’est pas possible d’avoir ou d’aller trouver sans grave inconvénient un assistant compétent selon le droit, les personnes qui veulent contracter un vrai mariage peuvent le contracter validement et licitement devant les seuls témoins : 1 en cas de danger de mort ; 2 en dehors du danger de mort, pourvu qu’avec prudence il soit prévu que cette situation durera un mois.
§ 2. Dans les deux cas, si un autre prêtre ou diacre peut être présent, il doit être appelé et être présent avec les témoins à la célébration du mariage restant sauve la validité du mariage devant les seuls témoins.
Can. 1117 – La forme établie ci-dessus doit être observée si au moins l’une des parties contractant mariage a été baptisée dans l’Église catholique ou y a été reçue, et ne l’a pas quittée par un acte formel, restant sauves les dispositions du can. 1127, § 2.
Can. 1118 – § 1. Le mariage entre catholiques ou entre une partie catholique et une partie baptisée non catholique sera célébré dans l’église paroissiale ; il pourra être célébré dans une autre église ou dans un oratoire avec l’autorisation de l’Ordinaire du lieu ou du curé.
§ 2. L’Ordinaire du lieu peut permettre que le mariage soit célébré dans un autre endroit convenable.
§ 3. Le mariage entre une partie catholique et une partie non baptisée pourra être célébré dans une église ou un autre endroit convenable.
Can. 1119 – En dehors du cas de nécessité, seront observés dans la célébration du mariage les rites prescrits dans les livres liturgiques approuvés par l’Église ou reçus par des coutumes légitimes.
Can. 1120 – La conférence des Évêques peut élaborer un rite propre du mariage, qui devra être reconnu par le Saint-Siège et qui tienne compte des usages locaux et populaires adaptés à l’esprit chrétien, restant sauve la loi selon laquelle l’assistant présent au mariage demandera et recevra la manifestation du consentement des contractants.
Can. 1121 – § 1. Une fois le mariage célébré, le curé du lieu de la célébration ou son remplaçant, même si ni l’un ni l’autre n’y ont assisté, inscrira aussitôt que possible dans les registres des mariages, de la manière prescrite par la conférence des Évêques ou par l’Évêque diocésain, les noms des époux, de l’assistant et des témoins, le lieu et la date de la célébration du mariage.
§ 2. Chaque fois que le mariage a été contracté selon le can. 1116, le prêtre ou le diacre s’il a été présent à la célébration, sinon les témoins, sont tenus solidairement avec les contractants d’informer aussitôt que possible le curé ou l’Ordinaire du lieu, du mariage contracté.
§ 3. En ce qui concerne le mariage contracté avec dispense de la forme canonique, [...]

Can. 1122 – § 1. Le mariage contracté sera aussi noté dans les registres des baptisés dans lesquels le baptême des conjoints est inscrit.
§ 2. Si un conjoint n’a pas contracté mariage dans la paroisse où il a été baptisé, le curé du lieu de la célébration transmettra aussitôt que possible la notification du mariage contracté au curé du lieu où le baptême a été conféré.
Can. 1123 – Chaque fois qu’un mariage est convalidé au for externe, ou déclaré nul, ou légitimement dissous autrement que par la mort, le curé du lieu de la célébration du mariage doit en être informé pour que l’annotation en soit dûment faite dans les registres des mariages et des baptisés.

***
On comprend que face à des demandes souvent peu fondées, et même les autres, le Curé n'ait pas envie d'avoir tous les samedis 1 ou 2 mariages. Surtout quand on voit la manière de se comporter des invités, qui souvent ont encore moins la foi. Pour eux, bien souvent, c'est un truc folklorique (avec un curé que l'on prend pour un zigoto parce qu'il exige fidélité etc., et que tout le monde sait très bien ce qu'en pensent les époux) et c'est déjà le début de la fête. Pour un peu ils enverraient des confettis pendant la messe...

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